一只花瓶，其表面每一点的弯曲程度都完全相同——而且是向*反*方向弯曲。

那个无法通过弯曲改变的唯一数值

拿一张纸。你可以把它卷成圆筒或圆锥，但如果不起皱或撕裂，就无法把它包在球上。这不是技巧问题。每个表面在其每个点上都有一个数值，即高斯曲率，弯曲无法改变它。只有拉伸才能改变。

球面各处的数值都是相同的正数，这就是为什么地球的每一幅平面地图都会在某些方面失真。圆筒或圆锥各处的数值都为零，这就是为什么它们能展开成平面。

还有第三种可能，它既不能用纸也不能用球面来构造：各处的数值都是相同的负数。贝尔特拉米在1868年构造出了这个曲面，并通过这一构造终结了一场长达两千年的争论——证明了数学家们一直忐忑不安地绕着走的奇怪的非欧几何根本不是自相矛盾的。它只是一个曲面。这就是其中一个。

形状并非出于选择

要求一个绕轴旋转的形状具有恒定的负曲率，其轮廓就被强制确定了。它是一条*曳物线*——当你用一根绷紧的绳子拖动一个重物时，重物划过的轨迹。这根绳子的长度是唯一的参数，它决定了整个花瓶的曲率。

绳子的长度也不是为了美观而挑选的。瓶壁向底部逐渐变平缓，而花瓶必须无支撑打印，这就精确决定了曲线在哪里必须被截断。是打印机选择了它。

经过测量，而非断言

所有数据均在完成的网格上而非图纸上进行了检查：
• 从底部到瓶口的八个环带上，曲率读数在0.09%的误差范围内保持一致——而半径变化了4.94倍
• 从轮廓恢复的曳物线绳长为93.2560毫米，而设计值为93.2566毫米——误差仅为0.6微米
• 表面积与其闭合形式解一致，误差为0.000%

还有一个令人愉悦的特性：如果让这个完整形状无限延伸下去，它将具有*有限*的面积——恰好是相同绳长球体面积的一半。一个无限延伸却只有有限表面积的曲面。

为什么它表面没有任何图案

这个系列中的其他每一只花瓶都带有某种装饰：鳞片、脊线、肋条、竖纹。这只是光秃秃的，并非出于克制。一个凸起就是一块不同曲率的区域。一道凹槽、一条竖纹，或者任何地方一毫米的纹理，都会破坏该物体旨在展示的唯一特性。这是这里唯一不能被装饰的形状。

一览
• 尺寸：79 x 79 x 150 毫米
• 适用于 220 x 220 x 250 毫米打印平台
• 一体成型，宽底座平放打印
• 无支撑，无边框：表面倾角小于45度的区域为 0.00 平方毫米
• 68 克 PLA——本系列中最轻的花瓶
• 瓶口外径 15 毫米，内径 10 毫米

你将获得
• .3mf 文件——可直接切片
• .stl 文件——适用于任何其他切片软件

打印设置
• 材料：PLA
• 层高：0.2 毫米（0.4 毫米喷嘴）
• 填充率：15%——壁厚为 2.5 毫米，即六条线宽，因此几乎全是外壁轮廓
• 支撑：无
• 底座/边框：不需要

以 0.2 毫米层高切片并检查了全部 750 层：底部为 15 层实心圆盘，上方为 735 层干净的圆环。

使用方法

一只花蕾瓶。10 毫米的内径可以插入一根木质茎干，或三四根细茎，而长长的锥形内壁能将它们扶正固定，防止散开——这正是窄瓶口的真正用途。打印后直接干燥使用；如果需要装水，可以在里面放一根试管。

用手从瓶口顺着摸下去。在靠近底部时，它变宽的速度比你预期的要快，而且这种加速感在花瓶的任何地方都不会改变特征，因为从上到下曲率都是同一个数值。

所有文件均以毫米为单位，Z轴朝上，平放在打印平台上——直接导入一个文件，它就已经是正确的大小和正确的朝向。

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